En los procesos de aprendizaje, exceptuando los del mundo académico, no aparecen la teoría y la práctica separadamente, una por un lado y la otra por el otro. Es en las aulas donde se hace este tipo de distinciones, que pueden ser muy razonables y convenientes, pero que no debe haber disloque en el separar, si se quiere que las cosas se asimilen debidamente. Tras los argumentos teóricos, con los que se acostumbra a empezar, deben ponerse las consideraciones prácticas, ejemplos aclaratorios y, también cerca, problemas de mayor enjundia. A lo anterior le debemos unir el que, según nuestra opinión, sólo se llega a aprender aquello que se supo aplicar con éxito para resolver casos concretos. De ahí que concluyamos que es extraordinariamente acertado y provechoso aplicarse a la resolución de problemas, de problemas seleccionados con acierto, sin cometer excesos ni quedarse corto. Nos hemos propuesto abarcar al máximo, ocupándonos de los problemas, todo lo que se refiere a las integrales de funciones reales, sin dejarnos en el tintero nada importante. En concreto, además de ocuparnos, en primer lugar, del cálculo elemental de primitivas, ofrecemos problemas de integrales simples y múltiples, de integración en curvas y en superficies, de integrales con parámetros, de integración propia e impropia, de aplicaciones geométricas de las integrales. Creemos que estamos obligados a señalar que los problemas que ofrecemos en este manual los hemos seleccionado intentando mantener, a toda costa, un nivel apropiado a los grados científicos y tecnológicos, de los nuevos estudios universitarios, que en estos momentos se están implantando. Es aquí necesario señalar que los niveles de exigencia que ahora imperan en la enseñanza universitaria no son los de hace unos años; no obstante, aunque han descendido, no están hoy por los suelos. No nos ha sido fácil el mantener compostura en la calidad de este texto, pues es complejo y peliagudo el mantener el tipo cuando se hacen inevitables ciertos abandonos y renuncias. Nuestros problemas son de dificultades media y moderadamente alta: estimamos que estamos en la gama de los que son más provechosos para el aprendizaje. Pero, por muy adecuados que sean los problemas, tal provecho o beneficio sólo lo será para aquellos que se pongan por sí mismos a resolverlos, sin acudir a la solución que se ofrece, salvo si se fracasa en el intento. Y no queremos acabar sin hacer un esclarecimiento, que consideramos de importancia: conviene tener muy claro que aprender algo y aprobar, en un examen, ese algo son cosas de patente diferencia. Lo primordial es el aprender, pero a la postre lo eficiente es el aprobar; son cosas distintas, pero no contrapuestas. Lo primero y principal es el asunto del aprender, que es lo que produce el real beneficio; ello deberá ser la verdadera meta del que estudia, por lo que ha sido nuestro empeño preferente. Pero a nadie se le oculta lo vital que, después, es el obtener reconocimiento oficial de los saberes adquiridos. Lo del aprobar es cuestión capital, por lo que no nos hemos olvidado tampoco de ello, incluyendo comentarios, acotaciones y advertencias encaminadas a adquirir maña y destreza para cuando llegue el incómodo trance del examen. Pero, que nadie se engañe, es un craso error el buscar el aprobado sin pasar por el aprender, y ello aun en los casos en los que aquél se llegue a atrapar, que no a conquistar. Juan de Burgos Román