Durante las últimas décadas se ha producido un vertiginoso desarrollo
de los dispositivos electrónicos de cálculo, ordenadores y calculadoras,
lo que se ha traducido, entre otras cosas, en un incremento sustancial
de la presencia del Cálculo Numérico en las actividades relacionadas
con la Ciencia y la Ingeniería, tanto en su vertiente docente e investigadora,
como en la actividad profesional e industrial.
Para que esta presencia siga siendo fructífera debería evitarse reducir
los métodos numéricos a un conjunto de cajas negras cuyo contenido y
leyes de funcionamiento se ignoran. Más bien al contrario, la extensiva utilización
del Cálculo Numérico hace imprescindible dotar a los actuales
estudiantes universitarios, y futuros profesionales, de un conocimiento
sólido y riguroso de los fundamentos del Cálculo Numérico, que justificará
su éxito, pero que también mostrará sus puntos débiles, aquellas circunstancias
en que deberá utilizarse con precaución y cautela.
Esta exigencia parece entrar en contradicción con la actual reforma de
los planes de estudio universitarios, que tienden a reducir, de forma prácticamente
generalizada, el número de créditos asignados a las materias básicas,
lo que, debido al inevitable proceso de ajuste al menor tiempo disponible,
puede conducir a una reducción en el rigor con que se presentan.
Se propone también un cambio en el modelo de la enseñanza universitaria,
que, entre otras cosas, implica una mayor responsabilidad del estudiante
en el proceso de su aprendizaje. Esto lleva a una disminución de las
horas presenciales en el aula, para poder aumentar, al menos en teoría, el
tiempo que el estudiante dedica al estudio y trabajo personal.
En el diseño de esta obra se ha intentado lograr un equilibrio entre los
tres aspectos anteriores: a) presentar el contenido esencial de cada método
con rigor, para hacer patente que los métodos numéricos están bien fundamentados, pero evitando, en lo posible, el tecnicismo matemático; b) reducir
el número de métodos pero asegurando que el estudiante dispondrá de
herramientas suficientes, y c) proporcionar numerosos ejemplos y ejercicios
que permitan el estudio personal.
La exposición de los distintos métodos se realiza de forma concisa,
reduciendo las consideraciones teóricas y utilizando inmediatamente ejemplos
para ilustrar los conceptos. Las demostraciones de los teoremas y propiedades
que se consideran menos ilustrativos, o más técnicos, se proponen
como últimos ejercicios, a realizar por el estudiante cuando éste ha
manipulado suficientemente cada método.
Respecto de los ejercicios propuestos hemos limitado su número con
el fin de que el estudiante no sienta que tiene ante sí una tarea ingente.
Entendemos, no obstante, que el número es suficiente para adquirir, por
una parte, la necesaria soltura en el manejo de los métodos y, por otra, la
capacidad de profundizar en los mismos y adaptarlos a situaciones nuevas.
No se plantean ejercicios repetitivos, en los que hay que volver a hacer
esencialmente lo mismo que se hizo en el ejercicio anterior. Hemos procurado
ordenarlos cuidadosamente en grado de dificultad y complejidad creciente
y proponer ejercicios que se amplíen a sí mismos, de manera que
cada ejercicio aporte un nuevo elemento, un nuevo matiz al conocimiento
alcanzado con los anteriores.
El tercer volumen está dedicado a los métodos numéricos para el cálculo
de integrales y la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. También
se dedica un breve capítulo a la derivación numérica, para su posterior
aplicación en los métodos de diferencias finitas. Continuando con el planteamiento
general de la obra de no abrumar al estudiante, se propone un
número reducido de métodos.
El primer capítulo está dedicado a las fórmulas de cuadratura: Trapecio
y Simpson y métodos de Romberg y de Gauss-Legendre. Entendemos
que con la capacidad de cálculo disponible actualmente las primeras
proporcionan suficiente exactitud en la mayoría de las aplicaciones y deberían
ser, debido a su sencillez, la herramienta más habitual. En los ejercicios
se muestra cómo duplicando sucesivamente el número de subintervalos
al aplicar las fórmulas del Trapecio o de Simpson se pueden evaluar
integrales con una exactitud prefijada. La generalización de la idea de
extrapolación conduce al método de Romberg. La integración de Gauss Legendre muestra cómo con un número reducido de nodos, pero elegidos
adecuadamente, pueden obtenerse resultados de gran exactitud.
En lo que se refiere a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales
ordinarias se tratan en primer lugar los problemas de condiciones iniciales,
o problema de Cauchy, de primer orden mediante los métodos explícitos
elementales, para concluir con el método de Runge-Kutta de orden 4.
Algunos de los métodos explícitos se presentan en su forma implícita, resaltando
las ventajas pero también las dificultades de cálculo que aparecen si
la función es no lineal. Entre los métodos multipaso se considera solamente
el de Adams-Bashforth-Moulton, ya que es muy utilizado. A continuación
se emplean los métodos anteriores para la resolución de sistemas de ecuaciones
de primer orden y se aborda la resolución de problemas de orden
superior mediante su transformación en un sistema de primer orden.
Para la resolución de los problemas de contorno se introduce el método
del Disparo, mostrando de nuevo cómo los problemas lineales se resuelven
de manera relativamente sencilla, mientras que los no lineales presentan
dificultades adicionales de cálculo. En el método de diferencias finitas
se muestra cómo reducir el problema de contorno a la resolución de un sistema
de ecuaciones lineales o no lineales y cómo tratar los distintos tipos
de condiciones de contorno. Finalmente se hace una pequeña introducción
a los métodos de residuos ponderados.
Aunque la mayoría de los ejercicios propuestos en los volúmenes anteriores
pueden resolverse con una calculadora, sería un poco engañoso hacer
la misma afirmación respecto de los problemas que se incluyen en este
volumen ya que su coste computacional es mucho mayor. Por ello es aconsejable
utilizar una calculadora programable, una hoja de cálculo o un lenguaje
de programación como Fortran o C. Si bien esta última opción nos
parece la más adecuada, requiere conocer y tener cierto dominio del lenguaje
que se vaya a utilizar. Para quienes no dispongan de este conocimiento
previo, puede ser preferible la utilización de una hoja de cálculo, ya que
aprender a realizar los cálculos necesarios no requiere un gran esfuerzo.