Parte I. CÁLCULO DE UNA VARIABLE REAL

Capítulo 1. LÍMITES DE LAS SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 3 1.1. Los números reales 3 1.2. Límites de sucesiones: definiciones 8 1.3. Órdenes de infinitésimos e infinitos. Equivalencias 9 1.4. Propiedades de los límites 14 1.5. es completo: propiedades 22 Ejercicios y Cuestiones 27

Capítulo 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 39 2.1. Límites de funciones de una variable: definiciones 39 2.2. Órdenes de infinitos e infinitésimos. Equivalencias 41 2.3. Propiedades de los límites 45 2.4. Funciones continuas 50 2.5. Continuidad en intervalos 53 2.6. Continuidad uniforme 54 Ejercicios y Cuestiones 57

Capítulo 3. DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 67 3.1. Concepto de derivada 67 3.2. Propiedades y cálculo de derivadas 70 3.3. Teoremas del valor medio 74 3.4. Desarrollos limitados 79 3.5. Fórmula de Taylor 86 Ejercicios y Cuestiones 89

Capítulo 4. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS (UNA VARIABLE) 105 4.1. Estudio local de una función 105 4.2. Curvas en explícitas 107 4.3. Generalidades sobre curvas en polares 113 Ejercicios y Cuestiones 119

Capítulo 5. CÁLCULO DE PRIMITIVAS 131 5.1. Integral indefinida 131 5.2. Métodos generales de integración 134 5.3. Integración de las funciones racionales 135 5.4. Integración de algunas funciones trascendentes 138 5.5. Integración de algunas funciones irracionales 140 Ejercicios y Cuestiones 145

Capítulo 6. INTEGRAL SIMPLE 157 6.1. Integral definida 157 6.2. Propiedades fundamentales de las integrales 161 6.3. Integrales impropias 164 6.4. Criterios de convergencia para integrales impropias 167 6.5. Aplicaciones geométricas de la integral 170 Ejercicios y Cuestiones 17

Capítulo 7. SERIES NUMÉRICAS Y DE POTENCIAS 191 7.1. Series de términos reales 191 7.2. Criterios de convergencia (para series de términos positivos) 198 7.3. Series de términos reales cualesquiera 201 7.4. Series de potencias 203 7.5. Serie de Taylor 206 Ejercicios y Cuestiones 209

Parte II. CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES

Capítulo 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 229 1.1. Límite de una función en un punto 229 1.2. Propiedades de los límites 231 1.3. Funciones continuas 235 1.4. Propiedades globales de la continuidad 237 1.5. Continuidad uniforme 239 Ejercicios y cuestiones 241

Capítulo 2. DERIVADAS Y DIFERENCIALES (PARA VARIAS VARIABLES) 253 2.1. Derivadas (según vectores y parciales) 253 2.2. Diferencial de una función 258 2.3. Derivadas y diferenciales de orden superior 265 2.4. Derivadas y diferenciales de las funciones compuestas 270 Ejercicios y cuestiones 277

Capítulo 3. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS (VARIAS VARIABLES) 295 3.1. Funciones implícita e inversa 295 3.2. Extremos relativos 302 3.3. Extremos relativos condicionados 305 Ejercicios y cuestiones 311

Capítulo 4. INTEGRALES MÚLTIPLES Y PARAMÉTRICAS 327 4.1. Integración en intervalos 327 4.2. Integración en conjuntos acotados 332 4.3. Métodos de integración 336 4.4. Integrales paramétricas 341 4.5. Integrales paramétricas impropias 345 Ejercicios y cuestiones 351

Capítulo 5. INTEGRALES CURVILÍNEAS Y DE SUPERFICIE 371 5.1. Algo sobre las curvas 371 5.2. Integrales curvilíneas 374 5.3. Campos irrotacionales; función potencial 377 5.4. Independencia del camino 380 5.5. Teorema de Green (o de la divergencia en dimensión 2) 381 5.6. Algo sobre las superficies 384 5.7. Integrales de superficie 392 5.8. Los teoremas de Gauss y de Stokes 396 Ejercicios y Cuestiones 407

Parte III. GEOMETRÍA DIFERENCIAL

Capítulo 1. CURVAS PLANAS 441 1.1. Curvas continuas; ecuaciones 441 1.2. Curvas de clase Cr (con r ≥ 1) 444 1.3. Tangente a una curva; posiciones relativas 446 1.4. Longitud de arco; aplicaciones 450 1.5. Curvatura 454 1.6. Puntos singulares y asíntotas 457 1.7. Envolvente de una familia de curvas 462 Ejercicios y Cuestiones 467

Capítulo 2. CURVAS EN EL ESPACIO 493 2.1. Curvas: Concepto; Regularidad 493 2.2. Tangente. Longitud de arco. Contactos 497 2.3. Puntos singulares y asíntotas 502 2.4. Triedro de Frenet 507 2.5. Fórmulas de Frenet. Curvatura y torsión 510 2.6. Hélices 516 Ejercicios y Cuestiones 519

Capítulo 3. SUPERFICIES 557 3.1. Superficies regulares 557 3.2. Algunos tipos particulares de superficies 561 3.3. Plano tangente. Normal 565 3.4. Superficies regladas 568 3.5. Primera forma fundamental; longitudes, ángulos, áreas 575 3.6. Curvaturas en una superficie 579 Ejercicios y Cuestiones 589

Parte IV. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Capítulo 1. CONCEPTOS GENERALES 627 1.1. Ecuaciones diferenciales 627 1.2. Interpretación geométrica de una EDO de primer orden 633 1.3. Sistema de ecuaciones diferenciales 635 Ejercicios y Cuestiones 637

Capítulo 2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 643 2.1. Ecuación diferencial ordinaria de primer orden 643 2.2. Ecuación diferencial ordinaria de orden n 667 Ejercicios y Cuestiones 675

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