Prólogo a la primera edición

Supone aquí el autor que las gentes nos comportamos como cabría esperar que lo hiciéramos y, consecuente con ello, imagina que, al tomar un libro, lo primero que hará el lector será enterarse de lo que de éste se dice en el prólogo, donde esperará encontrar información buena y fiable acerca de la obra. El autor, creyéndolo así u obligado a admitir dicho supuesto, procura que este primer contacto del lector con el libro incite, a aquél, a inclinarse en favor de éste y, quizá exagerando, pero sin faltar a la verdad, canta las bondades de su obra, por la que, obviamente, tiene la natural inclinación, hablando de aquello que, a su entender, más y mejor contribuya al conocimiento de lo que a continuación se ofrece. La prudencia y el buen juicio aconsejan que un prólogo no sea excesivamente dilatado; por ello y como el autor, muy a su pesar, tiene más verbosidad de lo que es razonable, se ha visto él en la precisión de glosar sólo algunos de los aspectos de la obra, que espera haber seleccionado con acierto. Para empezar, el autor entiende que debe hablar de algo que, aunque evidente, no ha de ser por ello omitido: ya sabe él que no descubre el Mediterráneo si dice que un curso de Cálculo Infinitesimal de varias variables, como el presente, es continuación lógica del Cáculo Infinitesimal de una variable, pero debe decirlo y señalar, así, que al lector de este texto se le ha de suponer que conoce bien los resultados más sobresalientes del cálculo de una variable. Para aliviar los inconvenientes que todo ello pudiera acarrear, cada vez que, a lo largo de este texto, se acude a alguno de los teoremas o resultados que se suponen ya conocidos, el tal teorema se concreta y resume (en una nota aparte), expresándole del modo que mejor cuadra al uso que de él se va a hacer. El lector, sin más que echar un simple vistazo al título de este libro, tendrá una información nada despreciable acerca de su contenido. A poco que conozca él del Cálculo Infinitesimal, casi le bastará con haber cursado las matemáticas del Bachillerato, el lector se barrunta que aquí se habla sobre la convergencia (mejor, sobre la topología) en los espacios ordinarios de dimensión mayor que uno (con lo que se manejará más de una variable), sobre los límites y la continuidad de funciones entre estos espacios, sobre la derivación y la diferenciación de tales funciones, sobre las aplicaciones de dichas derivadas al propio cálculo, sobre las integrales múltiples y sobre temas afines a ellas. Y no se equivocará el lector, pues es de ello de lo que trata el presente libro, como se puede comprobar echando una ojeada al índice, con lo que se obtendrá una visión bastante precisa de su contenido y de la intensidad con la que se aborda cada uno de los temas que en él se tratan. Si bien es verdad que al autor, como a todos los autores, le gustaría tener cuantos más lectores mejor, él sabe que lo que en este texto se dice no interesa a todo el mundo, sino sólo a unas pocas personas, y Dios quiera que éstas no falten. Así, el autor, cuando escribe, se dirige a un tipo muy concreto de lector; el autor escribe para un lector imaginario que, poseyendo ya ciertos conocimientos de Cálculo Infinitesimal, está interesado en acrecentar éstos, avanzando así en el estudio de esta disciplina. Este lector imaginario ha seguido con aprovechamiento un curso de Cálculo Infinitesimal de una variable y tiene ahora precisión de extender tales conocimientos al caso de varias variables. Lo que él aprenda sobre esto, será base en la que poder sostener su posterior formación, cuando avance en sus estudios de Matemáticas, Física, Ingeniería o Economía, en los que está muy interesado. El autor, desde que empezó a escribir el libro, estuvo obviamente preocupado en conseguir que, lo que en él se fuera a decir, se dijera cuanto más claro mejor, procurando evitar toda ambigüedad. Ello le ha llevado a presentar lo que es básico, esto es, los conceptos, las definiciones, las propiedades y los teoremas, del modo más preciso que le ha sido posible y libres de cualquier aditamento. De entre estos asuntos, aquellos de mayor importancia, es decir, los que constituyen el núcleo del texto, se han destacado del resto de lo escrito, presentándoles de modo compendiado y, para subrayar su interés, encerrados en recuadros y sombreados. Al lector le será fácil, así, distinguir lo más importante de lo que lo es menos y podrá dirigir mejor sus pasos y ganar en eficacia cuando estudie. A cada uno de los anteriores textos recuadrados se le acompaña de los necesarios complementos: comentarios, generalizaciones, notas, ampliaciones, ejemplos y ejercicios. Se ha procurado que estos últimos, los ejemplos y ejercicios, no falten nunca, pues se estima que son imprescindibles para llegar a entender, de verdad, los conceptos que se abordan y las propiedades que se demuestran. Hay una cuestión sobre la que el autor tiene especial interés en hablar; se trata de las demostraciones. El autor está convencido de que a un estudiante, cuando se las ha de ver con el teorema que le acaba de presentar su profesor o ha visto enunciado en su libro, no se le va a pasar por la cabeza el dudar de su veracidad; el alumno no va a poner en tela de juicio un resultado que viene siendo admitido, de antiguo, por todos los matemáticos, pues pensará, con buen juicio, que éstos lo habrán verificado sobradamente. El alumno se inclina a admitir la veracidad de los teoremas del mismo modo que cree a su profesor de historia cuando le dice que Cristóbal Colón descubrió el Nuevo Mundo el 12 de octubre de 1492. Así pues, las demostraciones no se les realizan a los alumnos para convencerles de la veracidad de lo demostrado. En un libro de texto o en las explicaciones del profesor, con las demostraciones no sólo se prueba que lo que se está afirmando es cierto, sino que también, y ello es mucho más importante para la formación de los alumnos, se está enseñando a razonar, a como se avanza en matemáticas, a resolver los problemas que se presentarán mañana, a manejar los conceptos, a utilizar las propiedades que ya se conocen. Los caminos que se siguen en las demostraciones y las ideas que en ellas se manejan serán las que, más tarde, habrá que utilizar para abordar con éxito las aplicaciones; mal podrá resolver las nuevas cuestiones aquel que carece de la experiencia que se adquiere al realizar las demostraciones. Consecuente con lo que piensa, el autor no ha omitido las demostraciones (salvo las obvias y, ya hacia el final, una especialmente difícil y alambicada); con ello no se desea sugerir al lector que deba él realizarlas todas, sólo se le quiere facilitar el que pueda hacerlo. Es más, el autor se permite aconsejar, al que se inicia en el estudio de esta disciplina, que realice las demostraciones sencillas, que aborde bastantes de las medianamente complicadas y que se ocupe de muy pocas de las que son más intrincadas o artificiosas de lo razonable. Aun cuando el prólogo se está alargando más de lo que el autor tenía pensado, él no resiste la tentación de decir aquí lo que entiende por «dominar» algo en matemáticas; ello vendrá a explicar el porqué de la estructura, la organización, la hechura que se le ha dado al texto. Antes que nada, hay que decir que dominar las matemáticas no es ser especialmente habilidoso realizando cálculos más o menos rutinarios o aplicando algoritmos, tampoco es buscar la solución a problemas similares a los que, previamente, se ha visto resolver a otro. Para dominar las matemáticas hay que saber lo que significa cada uno de los objetos que se manejen y apreciar las cualidades de los mismos, hay que saber conceptuar y analizar los problemas, hay que tomar decisiones, que luego habrán de ser confirmadas o rechazadas, hay que formular debidamente las cuestiones que se planteen, expresándolas en términos precisos y libres de toda ganga, hay que llegar al fondo de los asuntos que se estudien, detectándoles el meollo, hay que saber, en cada momento, para qué se hace lo que se hace y el porqué de lo que se hace, hay que tener curiosidad y espíritu crítico. El autor no quiere acabar el prólogo antes de manifestar que se siente gratamente obligado hacia todos los que, de uno u otro modo, le han ayudado en su tarea. El mayor apoyo le ha venido de su mujer y de sus hijos; gracias por vuestra cooperación animosa. Han sido muchos los colegas que, con sus valiosas sugerencias e inestimables consejos, han contribuido eficazmente en las elaboración de esta obra; el autor se ve en la precisión de citar aquí, reconocido, a José Manuel Vega, a Ignacio Parra, a José Antonio Nicolás, a Manuel Martínez, a Damián Rivas, a Eduardo Ahedo, a Carlos Vázquez, a Julio Ramírez, a Hermenegildo García, a Francisco Mancebo, a Carlos Martel, a Carlos Álvarez, a María Higuera, a Ignacio Delgado, a Ángel Velázquez. No puede el autor olvidarse de Eva Villacieros, a quien le agradece su cuidadoso y excelente trabajo componiendo textos de matemáticas. El autor también da, gustoso, las gracias a todos los que en McGraw-Hill han colaborado en la confección de este libro y, en en particular, a Antonio García-Maroto, su director, y a Isabel Capella, editora.  

En la villa de Madrid, a 15 de mayo de 1995

Prólogo a la segunda edición

Antier hizo doce años que firmé y feché el prólogo de la primera edición de este libro. Para el vivir celere de hoy en día, doce años es plazo sobrado para pararse a preguntar sobre sus virtudes y defectos; sobre cuáles son, al criterio de estos tiempos y de estos lugares, sus excesos y sus carencias; sobre, también, el sentir de aquí y ahora, lo atinado de su enfoque y orientación. Antes de seguir adelante, y al hilo de lo dicho, quiero mostrar ya mi agradecimiento a todos mis colegas, que los ha habido y han sido suficientes, que han mostrado interés y aprecio por el libro y lo han hecho en medida suficiente como para tomarse la molestia de manifestarme sus opiniones, haciendo la pertinente crítica sobre él. En menor número, pero también me ha llegado el parecer de otros lectores, casi todos alumnos de la asignatura «Cálculo», que solía venir acompañado de preguntas o dudas, que han permitido descubrir más de un error, desatino, incorrección o gazapo. Volvamos a la reflexión a la que nos referíamos al comenzar. A criterio del autor, que ha sopesado todos los datos y pareceres de que dispone, el libro no ha defraudado, ha respondido razonablemente bien a lo que de él cabía esperar. Lo que no impide que, al entrar en el análisis detallado del texto, tema a tema, el autor entienda que se hace preciso introducir retoques, correcciones y modificaciones locales y ello en cantidad apreciable. Y el autor se ha puesto a ello y ha obtenido el resultado que aquí se ofrece. Los cambios (locales) que se han introducido han afectado, especialmente a los lugares más sensibles y delicados del libro: aquellos en los que se resumen las principales definiciones, se plasman los resultados más destacables, se enuncian los teoremas básicos. Todo ello, para favorecer la comprensión de las cosas, se ha resaltado sobreponiendo una trama, que lo destaca y acota. Estos recuadros tramados se han cuidado, redactándolos (cuando ha parecido que no lo estaban) de manera que no se requiera excesiva perspicacia en el lector para llegar a entenderlos a satisfacción. A este fin se han hecho no pocos retoques, añadidos y simplificaciones, con los que se cree haber dado en el clavo. Aun cuando el mayor esfuerzo ha ido en la dirección que se acaba de señalar, ha habido que atender, también, a otros menesteres. Hubo que rectificar, pocas veces por fortuna, yerros de los que se avergüenza el autor. Se han corregido, en cantidad apreciable, todas las erratas advertidas, desde soluciones equivocadas de algunos problemas hasta tener que aclarar que una cierta función estaba «acotada», y no «acostada», como se decía. Ha sido preciso añadir algunas, pocas, cosas que habían sido olvidadas, así como prescindir de otras, también pocas, que hoy se han juzgado supérfluas. 
Pero no se ha alterado ni la orientación, ni el estilo, ni el contenido básico del libro; se mantienen sus componentes (definiciones, propiedades, ejemplos, ejercicios, demostraciones, problemas) en análogas proporciones y con los mismos objetivos. Sin cambios en lo fundamental; no es éste, en esencia, un libro nuevo, sino una mejora (esperamos que nadie lo vea como una «peora») apreciable del que ya había.