En la enseñanza del Cálculo Infinitesimal, en nuestro mundo universitario, lo usual es ocuparse primero del Cálculo Diferencial y dejar para después el Cálculo Integral, aunque no siempre se hace así. Sin embargo, históricamente lo uno no precedió a lo otro; aunque sus avanzares se simultanearon y se han ido apoyando el uno en el otro, la veteranía mayor es la de las integrales. No es, pues, ningún desvarío, aunque sí sea infrecuente, que este texto se dedique al estudio de las integrales sin abordar antes la diferenciación. Ello no impide, obviamente, que echemos mano de aquellos conceptos básicos del Cálculo Diferencial, cuando ello se haga preciso. Nos hemos propuesto abarcar al máximo, ocupándonos de todo lo que se refiere a las integrales de funciones reales, sin dejarnos en el tintero nada importante; en concreto, además de hablar, en primer lugar, del cálculo elemental de primitivas, acometemos el estudio de las integrales simples y de las múltiples, de la integración en curvas y en superficies, de las integrales con parámetros, de la integración propia e impropia, de las aplicaciones geométricas de las integrales. Creemos que estamos obligados a señalar que, cuanto acabamos de decir, lo hemos hecho intentando mantener a toda costa la seriedad y fundamento que, al menos, le son propios a los grados científicos y tecnológicos, de los nuevos estudios universitarios, que en estos momentos se están implantando. Es aquí obligado señalar que los niveles de exigencia que ahora imperan en la enseñanza universitaria no son los de hace unos años; no obstante, aunque han descendido, no están hoy por los suelos. No nos ha sido fácil el mantener compostura en la calidad de este texto, pues es complejo y peliagudo el mantener el tipo cuando se hacen inevitables ciertos abandonos y renuncias. Las cuestiones teóricas se desarrollan con precisión, rigor y escrupulosidad; se ha prescindido de generalizaciones, ampliaciones o cualquier adorno. Para el conveniente asentamiento de los contenidos teóricos, se brindan abundantes ejercicios debidamente resueltos, de dificultades media y moderadamente alta; la experiencia nos dice que estos ejercicios son de gran provecho para el aprendizaje, sobre todo cuando se intentan resolver, por uno mismo, sin acudir a la solución que se ofrece, salvo si se fracasa en el intento. Por primera vez, proponemos nosotros cuantiosos ejercicios o pruebas de otra modalidad, que hemos llamado “test”, como es usual, que están destinados a que el alumno señale la respuesta correcta de entre cuatro opciones que se le ofrecen. De cada uno de ellos, se da, en unas páginas más adelante, la respuesta correcta y una justificación somera de ella. Este tipo de pruebas están siendo muy utilizadas últimamente, cada vez con mayor frecuencia y en más sitios, pues permiten obtener abundantes calificaciones de los alumnos con poco esfuerzo. Estimamos, pues, que las que aquí incluimos han de ser muy útiles e interesantes a la hora de prepararse para los exámenes. Y no queremos acabar sin hacer un esclarecimiento, que consideramos de importancia: conviene tener muy claro que aprender algo y aprobar, en un examen, ese algo son cosas de patente diferencia. Lo primordial es el aprender, pero a la postre lo eficiente es el aprobar; son cosas distintas, pero no contrapuestas. Lo primero y principal es el asunto del aprender, que es lo que produce el real beneficio; ello deberá ser la verdadera meta del que estudia, por lo que ha sido nuestro empeño preferente, con nuestro hacer con la teoría y con los ejercicios resueltos. Pero a nadie se le oculta lo vital que es el obtener reconocimiento oficial de los saberes adquiridos; lo del aprobar es cuestión capital, por lo que no nos hemos olvidado tampoco de ello, incluyendo los test, que permitirán adquirir maña y destreza para cuando llegue el momento de examinarse. Pero, que nadie se engañe, es un craso error el buscar el aprobado sin pasar por el aprender, y ello aun en los casos en los que aquél se llegue a atrapar, que no a conquistar. Juan de Burgos Román