Durante las últimas décadas se ha producido un vertiginoso desarrollo
de los dispositivos electrónicos de cálculo, ordenadores y calculadoras,
lo que se ha traducido, entre otras cosas, en un incremento sustancial
de la presencia del Cálculo Numérico en las actividades
relacionadas con la Ciencia y la Ingeniería, tanto en su vertiente docente
e investigadora, como en la actividad profesional e industrial.
Para que esta presencia siga siendo fructífera debería evitarse reducir
los métodos numéricos a un conjunto de cajas negras cuyo contenido
y leyes de funcionamiento se ignoran. Más bien al contrario, la
extensiva utilización del Cálculo Numérico hace imprescindible dotar a
los actuales estudiantes universitarios, y futuros profesionales, de un
conocimiento sólido y riguroso de los fundamentos del Cálculo Numérico,
que justificará su éxito, pero que también mostrará sus puntos
débiles, aquellas circunstancias en que deberá utilizarse con precaución
y cautela.
Esta exigencia parece entrar en contradicción con la actual reforma
de los planes de estudio universitarios, que tienden a reducir, de forma
prácticamente generalizada, el número de créditos asignados a las
materias básicas, lo que, debido al inevitable proceso de ajuste al
menor tiempo disponible, puede conducir a una reducción en el rigor
con que se presentan.
Se propone también un cambio en el modelo de la enseñanza universitaria,
que, entre otras cosas, implica una mayor responsabilidad
del estudiante en el proceso de su aprendizaje. Esto lleva a una disminución
de las horas presenciales en el aula, para poder aumentar, al
menos en teoría, el tiempo que el estudiante dedica al estudio y trabajo
personal.
En el diseño de esta obra se ha intentado lograr un equilibrio entre
los tres aspectos anteriores: a) presentar el contenido esencial de cada
método con rigor, para hacer patente que los métodos numéricos están
bien fundamentados, pero evitando, en lo posible, el tecnicismo matemático;
b) reducir el número de métodos, pero asegurando que el estudiante
dispondrá de herramientas suficientes, y c) proporcionar numerosos
ejemplos y ejercicios que permitan el estudio personal.
La exposición de los distintos métodos se realiza de forma concisa,
reduciendo las consideraciones teóricas y utilizando inmediatamente
ejemplos para ilustrar los conceptos. Las demostraciones de los teoremas
y propiedades que se consideran menos ilustrativos, o más técnicos,
se proponen como últimos ejercicios, a realizar por el estudiante
cuando éste ha manipulado suficientemente cada método.
Respecto de los ejercicios propuestos hemos limitado su número
con el fin de que el estudiante no sienta que tiene ante sí una tarea
ingente. Entendemos, no obstante, que el número es suficiente para
adquirir por una parte la necesaria soltura en el manejo de los métodos
y, por otra, la capacidad de profundizar en los mismos y adaptarlos a
situaciones nuevas. No se plantean ejercicios repetitivos, en los que
hay que volver a hacer esencialmente lo mismo que se hizo en el ejercicio
anterior. Hemos procurado ordenarlos cuidadosamente en grado de
dificultad y complejidad creciente y proponer ejercicios que se amplíen
a sí mismos, de manera que cada ejercicio aporte un nuevo elemento,
un nuevo matiz al conocimiento alcanzado con los anteriores.
Este volumen está dedicado exclusivamente a los métodos para la
evaluación de integrales definidas, que es uno de los problemas clásicos
del Cálculo Numérico. Manteniendo el espíritu de los otros volúmenes
se presenta un número reducido de métodos: fórmulas del Trapecio y
Simpson, integración de Romberg e integración de Gauss-Legendre.
Entendemos que con la capacidad de cálculo disponible actualmente
las primeras proporcionan suficiente exactitud en la mayoría de las
aplicaciones y deberían ser, debido a su sencillez, la herramienta más
habitual. A partir de la expresión del término de error de los métodos
del Trapecio y de Simpson se introduce la idea de extrapolación, que
conduce al método de Romberg. La integración de Gauss-Legendre
muestra cómo con un número reducido de nodos, pero elegidos adecuadamente, pueden obtenerse resultados de gran exactitud. Se considera
también el problema general de las fórmulas de Newton-Cotes y
el de la integración gaussiana, aunque limitado a una introducción debido
a la necesidad de utilizar la teoría de polinomios ortogonales. No
se aborda el problema de la integración adaptativa, ya que entendemos
que su aplicación efectiva requiere conocer y manejar un lenguaje de
programación que permita su implementación. No obstante, en los
ejercicios se muestra cómo duplicando sucesivamente el número de
subintervalos al aplicar las fórmulas del Trapecio o de Simpson se pueden
evaluar integrales con una exactitud prefijada.
Además de los ejercicios de «manipulación» de carácter mecánico
y rutinario, pero necesarios para afianzar el conocimiento de cada
método, se proponen ejercicios en los que se ilustra cómo abordar otro
tipo de problemas no contemplados específicamente, por ejemplo la
evaluación de integrales dobles o impropias. La resolución de los ejercicios
propuestos puede realizarse con una calculadora. Por tanto, no
es necesario utilizar un lenguaje de programación, ni disponer de un
paquete de software comercial (su uso prematuro tiene el riesgo de
convertir el Cálculo Numérico en una colección de «recetas de cocina
»). La utilización de una calculadora programable o de una hoja de
cálculo permitirá resolver con muy poco esfuerzo de cálculo los ejemplos
y ejercicios propuestos.
Por brevedad no hemos incluido un capítulo destinado a señalar
cuáles son los rasgos que diferencian al cálculo numérico de la «aritmética
exacta», y que tienen su principal origen en el error de redondeo
asociado a la representación de los números en los dispositivos de
cálculo. Estos aspectos, que deben tenerse presentes al abordar el
estudio o la práctica de cualquier área del Cálculo Numérico, pueden
consultarse en cualquiera de los volúmenes Métodos Numéricos I, II o
III, publicados por esta editorial.